Laboratorio di probabilità

Come funziona

Cos'è

La probabilità di un evento è un numero fra 0 e 1 che dice quanto ci si può aspettare che accada. Quando gli esiti possibili sono tutti ugualmente probabili si calcola così:

probabilità = casi favorevoli / casi possibili

La frequenza relativa invece si misura: è quante volte l'evento è uscito diviso il numero di prove. Questo laboratorio le mette una accanto all'altra.

Quando si usa

• Prevedere senza provare: lanciando due dadi, la somma 7 esce in media una volta ogni 6 lanci, perché copre 6 caselle su 36.
• Stimare quando non si può contare: se non sai com'è fatto un dado truccato, la frequenza su molti lanci ti dà una stima della sua probabilità. È il metodo delle assicurazioni e dei sondaggi.
• Controllare un ragionamento: se la frequenza su mille prove resta lontana dalla probabilità che hai calcolato, probabilmente il calcolo è sbagliato.

Il metodo

1. Si elencano i casi possibili, scegliendoli ugualmente probabili: per due monete sono TT, TC, CT, CC, non «due teste, una testa, nessuna testa».
2. Si contano quelli favorevoli e si divide. Una testa su due monete: TC e CT, cioè 2 casi su 4.
3. Quando gli esiti non sono ugualmente probabili (la ruota con settori diversi) si conta in parti uguali: un settore che occupa 3 parti su 8 ha probabilità 3/8.
4. Per due estrazioni si usa l'albero: lungo un ramo le probabilità si moltiplicano («prima rossa e poi blu»); fra rami diversi che portano allo stesso evento si sommano («rossa e blu in qualunque ordine» = rossa poi blu oppure blu poi rossa).
5. Senza reimmissione il secondo ramo cambia: se la prima pallina era rossa, nel sacchetto ci sono una rossa e una pallina in meno.

I casi limite

• Gli esiti non sono sempre equiprobabili. Con due monete «una testa» ha probabilità 1/2, non 1/3: lo vedi subito facendo mille lanci.
• Il caso non ha memoria. Dopo cinque teste di fila, la sesta moneta ha ancora probabilità 1/2. Le teste non «recuperano»: con tante prove la differenza fra teste e croci può anche crescere, mentre la frequenza relativa si avvicina a 1/2.
• Poche prove dicono poco. Con 10 lanci una frequenza di 0,7 per una moneta onesta è normale; con 10 000 no.
• Probabilità 0 e 1. Senza reimmissione, da un sacchetto con una sola rossa non si estraggono due rosse: l'evento è impossibile e non compare fra gli esiti. Se nel sacchetto c'è un solo colore, ogni estrazione è certa.

Le parole

Esito

uno dei risultati possibili di una prova: «5» per un dado, «TC» per due monete.

Evento

un insieme di esiti: «esce un numero pari», «almeno una testa».

Equiprobabili

esiti che hanno tutti la stessa probabilità, come le facce di un dado non truccato.

Frequenza assoluta e relativa

l'assoluta è quante volte è uscito l'esito; la relativa è quella divisa per il numero di prove, e sta sempre fra 0 e 1.

Legge dei grandi numeri

al crescere delle prove la frequenza relativa tende ad avvicinarsi alla probabilità. È quello che mostra il grafico.

Spazio dei casi (spazio campionario)

l'elenco di tutti gli esiti possibili, come la griglia 6 × 6 dei due dadi.

Con e senza reimmissione

con reimmissione la pallina estratta si rimette nel sacchetto prima della seconda estrazione; senza, resta fuori.

Eventi indipendenti

il primo non cambia la probabilità del secondo: due lanci di moneta, o due estrazioni con reimmissione. Senza reimmissione le estrazioni sono dipendenti.