Entropia e probabilità: perché il gas non torna indietro
Perché un gas si allarga per riempire il recipiente, e non si raccoglie mai più da una parte? Non c’è nessuna legge che lo vieti: le molecole potrebbero tornare tutte a sinistra. Ma i modi di disporle metà e metà sono enormemente più numerosi dei modi di metterle tutte da una parte. Boltzmann legò l’entropia proprio al numero di questi modi.
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espansione in un volume doppio: ΔS = N k ln 2
Ogni molecola ha la stessa probabilità di trovarsi a destra o a sinistra. La probabilità che siano tutte a sinistra è (1/2)^N: con 4 molecole succede spesso, con 40 una volta su mille miliardi, con una mole di gas mai, in tutta la vita dell’universo.
Boltzmann definì l’entropia come S = k ln W, dove W è il numero di disposizioni microscopiche che danno lo stesso stato macroscopico e k è la costante di Boltzmann. Lo stato «metà e metà» ha il W più grande: è quello di massima entropia, e il gas ci arriva e ci resta, con piccole fluttuazioni di circa √N / 2.
Raddoppiando il volume, ogni molecola ha il doppio di posti: W si moltiplica per 2^N e l’entropia cresce di N k ln 2. Per una mole di gas sono 5,76 J/K, lo stesso valore che dà la definizione di Clausius. La freccia del tempo è la direzione in cui l’entropia cresce.
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