Tre componenti, e il prodotto scalare nello spazio
Nello spazio un vettore ha tre componenti. Il prodotto scalare aggiunge un termine, a𝓏b𝓏, e resta un numero: da lì si ricava l’angolo fra i due vettori, anche quando non stanno nello stesso piano. Lo sguardo gira per far vedere la profondità.
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Le linee tratteggiate sono la «scatola» delle componenti: prima lungo x, poi lungo y, poi su per z. Il modulo è la diagonale della scatola: √(aₓ² + aᵧ² + a𝓏²), Pitagora due volte.
Le componenti x e y sono fisse, a = (4; 1; a𝓏) e b = (1; 4; b𝓏): cambia solo la terza. Porta a𝓏 e b𝓏 a zero e i due vettori tornano nel piano xy, col prodotto scalare di prima. Con a𝓏 = 4 e b𝓏 = −2 il prodotto si annulla: perpendicolari nello spazio.
Il conto con le componenti dà il numero; il coseno dà l’angolo: cos θ = (a · b) / (|a||b|). Nello spazio è l’unico modo pratico di misurare un angolo fra due direzioni.
L’animazione mostra, la spiegazione fa capire
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